catbird より

catbird — Sat, 06 Feb 2010 17:11:15 +0000

フェルマーの最終定理を、エクセルで証明して見よう。
フェルマーの最終定理は、ｎが２より大きい自然数であれば　Ｘn＋Ｙn＝Ｚnを満たす、自然数Ｘ、Ｙ、Ｚは存在しないと言う内容です。ｎ＝2の時、3×3+4×4＝5×5が存在する。しかし、ｎ＝＞3なら数式を満たす自然数はない。エクセルを使って、理由を説明する。シートⅠのＡ列に1・2・3・4・5・・・27と入力する。Ｂ列にはＡ列を1乗する式（Ｂ1＝Ａ1等）、Ｃ列には2乗する式（Ｃ1＝$Ａ$1×Ｂ1等）、Ｄ列には3乗する式（Ｄ1＝$Ａ$1×Ｃ3等）、・・・・Ｋ列には10乗する式（Ｋ1＝$Ａ$1×Ｊ1等）を入力する。1の1乗から27の10乗までの数値が出た。シートⅠのＣ列（2乗列）をシートⅡのＡ列に貼り付ける。Ｂ列はＡ列の前後数値の差を計算する式（Ｂ1＝1　Ｂ2＝Ａ2－Ａ1　Ｂ3＝Ａ3－Ａ2等）を入力する。更に、Ｃ欄にＢ列の前後数値の差を計算する式（Ｃ1＝1　Ｃ2＝Ｂ2－Ｂ1　Ｃ3＝Ｂ3－Ｂ2等　1行目は常に1）を入力する。Ｃ列は1・2・2・2・2・・と2が続く。シートⅠのＤ列（3乗列）を別シートのＡ列に貼り付ける。Ａ列の差額を求める式をＢ列に、Ｂ列の差額を求める式をＣ列に、Ｃ列の差額を求める式をＤ列に（1行目は常に1）入力する。Ｄ列は1・5・6・6・6・6・・・と以後6が続く。同様に4乗列は差額を求める計算を4回繰り返すと、Ｅ列に1・12・23・24・24・24・・・と24が続く。10乗列は10回繰り返しで1・1014・48854・504046・1814400・3124754・3579946・3627786・3628799・3628800・3628800・・と3628800が続く。10乗した数は、この数値（基数とする）を何倍かして足せば表せる。他の乗の場合も同じ。何倍すれば良いか計算する表を、作成する。新シート（累計シート）の1行目は全て1を入力する（Ａ列からＭ列）。2行目は1行目の累計を計算する式（Ａ2＝1　Ｂ2＝ＳＵＭ（＄Ａ1：Ｂ1）　Ｃ2＝ＳＵＭ（＄Ａ1：Ｃ1）等Ｍ列まで）を入力する。2行目は1・2・3・4・・13となる。3行目は2行目の累計を計算する式（Ａ3＝1　Ｂ3＝ＳＵＭ（＄Ａ2：Ｂ2）　Ｃ3＝ＳＵＭ（＄Ａ2：Ｃ2）等）を入力する。3行目は1・3・6・10・15・21・・・91となる。4行目で3行目の累計を計算すると、1・4・10・20・35・56・・・455となる。11行目は1・11・66・286・・・646646となる。（これ以上はエクセル限界の為使わない）2乗の数値を求める。2乗の場合1と2を何倍かして足す。新シートのＡ1に1を、Ａ2に2を入力する。累計シート2行目（1・2・3・4・・13）をＢ1から貼り付ける。累計シート3行目（1・3・6・10・15・21・・・78）Ｃ2から貼り付ける。例えば、Ｅ列は4を2乗した値です。1×4+2×6＝16＝4×4です。3乗の場合は、Ａ1に1、Ａ2に5、Ａ3に6（3乗の差額を求めたシートより）を入力する。累計シート3行目（1・3・6・・91）をＢ1から、同じく3行目をＣ2から貼り付ける。累計シートの4行目（1・4・10・20・・・286）をＤ3から貼り付ける。例えば、Ｉ列は8を3乗した値です。1×36+5×28+6×56＝512＝8×8×8です。4乗はＡ列に1・12・23・24と入力し、累計シート4行目（1・4・10・20・・・364）をＢ1・Ｃ2・Ｄ3から、5行目（1・5・15・35・・715）をＥ4から貼り付ける。5乗は1・27・93・119・120をＡ列に入力し、累計シートの5行目を、1から119の行に一列づつずらして貼り付ける。120の列には6行目を一列ずらして貼り付ける。ルールは次の乗になると、その乗の差額を求めたシートで同数値が連続する列の値をＡ列に貼り付け、それぞれの行に累計シートの次行を1列づつずらして貼り付け、同数値が連続する数値行には、累計シートの次の行を1列ずらして貼り付けることだ。10乗目のＡ列には上記の1・1014・48854・504046・1814400・3124754・3579946・3627786・3628799・3628800を貼り付ける。累計シートの10行目（1・10・55・22・715・・・293930）をＢ1・Ｃ2・Ｄ3・Ｅ4・Ｆ5・Ｇ6・Ｈ7・Ｉ8・Ｊ9から貼り付け、11行目（1・11・66・286）をＫ10から貼り付ける。Ｋ列は10の10乗の数値で1×48620+1014×24310+48854×11440+504046×5005+1814400×2002+3124754×715+3579946×220+3627786×55+3628799×10+3628800×1＝10000000000＝10×10×10×10×10×10×10×10×10×10です。フェルマーの最終定理とは、何列目と何列目かを足せば何列目かになるかである。列は累計シート10行目を逆にした数列で、等差数列では無く、ある列とある列の基数の数を足しても、他列におけるそれぞれの基数の数とはならない。10乗の基数は1・1014・48854・504046・1814400・3124754・3579946・3627786・3628799・3628800である。1+3628799＝1014+3627786＝48854+3579946＝504046+3124754＝1814400+1814400＝3628800となる。端から足して行けば、連続する数値（10乗で言えば3628800）になる。何乗の表でも同じです。列と列の基数の数を足して、足すと連続する数値になる基数同士の数が同じになるなら、全体は連続する数値の倍数となり、フェルマーの最終定理に反する可能性もある。しかし、10乗表の列は累計シートの10行目を逆にした数列となっている。小さい基数の方が多く、全体は3628800の倍数にはならない。では、基数が他の基数の倍数になっている場合は考えられるか。2乗の場合、基数は1と2で全ての基数が倍数の関係にある為、3×3+4×4＝1×3+2×3+1×4+2×6＝1×5+2×10＝5×5となる場合がある。しかし、3乗以上の場合、全ての基数が倍数の関係にある場合はない。従って、ｎが２より大きい自然数であれば　Ｘn＋Ｙn＝Ｚnを満たす、自然数Ｘ、Ｙ、Ｚは存在しません。

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